Samosličnost

Postoje geometrijski oblici koji ne mogu da se uklope u klasičnu, euklidsku geometriju ali se lako uklapaju u strukturu jelke, grančice, oblaka, pahulje… To su fraktali. Polazi se od jednostavnih geometrijskih oblika: linija, trougao, kvadrat… zatim se usvoji neko jednostavno geometrijsko  pravilo i ponavlja se uporno na svaki segment u sve manjim koracima , sve dok se ne stvori fraktalna slika.

Da li je moguće od prave linije dobiti grančicu? Moguće je , ako poznajete prirodu fraktala. Duž je inicijator- početni oblik na koga primenjujemo neko pravilo. Strukturu tog pravila pokazuje generator a ono glasi: podeliti duž na trećine a zatim  ucrtati dve kose linije pod uglom od 30°. Njihova dužina jednaka je  trećini duži. Na ovaj način smo od jedne duži dobili 5 novih segmenata. U sledećem koraku nad svkim segmentom ponovimo isto pravilo, broj duži se uvećava a grana dobija prepoznatljiv oblik već u narednoj iteraciji. fraktal grančicaPrimećujemo da su i manji  delovi  figure slični figuri u celini, pa se ta osobina naziva samosličnost. Delovi su umanjene kopije celine.

fraktal kvadratPahuljast oblik fraktala moguće je dobiti ako krenemo od kvadrata kao inicijatora a za generator uzmemo jednu stranicu kvadrata podeljenu na trećine, pri čemu je nad srednjom trećinom jednakostranični trougao.

fraktal pahuljaSkaliranjem generatora i njegovim postavljanjem na svaki segment geometrijske figure, kroz iteracije dobijamo izlomljenu, pahuljastu figuru, čiji se obim stalno uvećava.  Ako u AutoCAD- u ovu figuru naredbom Polyline pretvorimo u poliliniju, a zatim je višestruko kopiramo primenom naredbe Offset, dobićemo sliku u čijem centru se nalazi inicijator ovog fraktala ,a to je kvadrat. U AutoCAD-u fraktal možete crtati na dva načina:

– kada nacrtate inicijator, svaku njegovu duž podelite na trećine naredbom Divide. Da bi tačke podele bile uočljivije u Point Style… za marker tačke izaberite krst, putaču i sl. Nad srednjom trećinom duži nacrtati jednakostranični trougao, najlakše naredbom Polygon opcijom Edge, a zatim naredbom Trim izbrisati donju ivicu trougla. Kada ovaj postupak primenite na sve četiri stranice kvadrata, primećujete da figura ima dve ose simetrije, što znači da dalje iteracije primenjujete na 1/4 figure da bi na kraju preslikavanjem  sa naredbom Mirror dobili celu figuru .

-drugi način je da generator umanjite, skalirate za 1/3 primenom naredbe Scale a zatim ga primenite u sledećoj iteraciji. Pri tome je potrebno  primenjivati i naredbu Rotate zbog različitog nagiba nekih segmenata.

Ovo su najjednostavniji fraktali, složeniji se crtaju i u 3D, ali o tome u nekoj drugoj lekciji 🙂

Advertisements

One thought on “Samosličnost

  1. Povratni ping: Што си лепа, као математика | Био-блог

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s